6. 자연계에 나타난 수학적 원리 본 창조섭리

"Mathematics is the alphabet with which God has written the universe." -- Galileo Galilei

우리가 자연계나 동식물들의 자라는 형상을 자세히 들여다 보면 많은 부분에서 창조주의 창조사역을 나타내는 수학적 원리를 발견할 수 있다. 자연계에 나타난 수학적 원리들 중 대표적인 것들은 황금비, 황금각, 황금 직사각형, 피보나치수열, 대수 나선, 프랙탈 등이다. 먼저 이 수학적 원리들을 간단히 알아보도록 하자.

황금비란 어떤 주어진 선분을 가장 이상적으로 둘로 나눌때의 비율이다. 예를 들면 어떤 막대기를 둘로 자를때 짧게 잘라진 막대기와 길게 잘라진 막대기의 비율이 길게 잘라진 막대기와 잘라지기전 막대기의 비율과 같을때를 황금비라고 하며 그 값은 1.618 정도가 된다. 황금각이란 원의 긴 원호와 짧은 원호가 황금비를 이룰 때 형성되는 각으로 137.51도 정도가 된다. 황금 직사각형이란 직사각형의 긴 선분과 짧은 선분이 황금비를 이룰 때 형성되는 직사각형으로 고대 그리스의 건축물, 예술 작품, 신용카드, 그리고 와이드 스크린 TV 등에서 그 모습을 발견할 수 있다. 피보나치수열은 인접한 두 수의 합이 그 다음에 나오는 수가 되는 수열이며 (예: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …), 대수 나선은 극좌표상의 한점에서 그은 접선이 일정한 각도를 이루는 점들을 연결한 나선이며 피보나치 나선과 비슷한 형상이다. 프랙탈이란 도형의 일부분을 확대해 보았을 때 전체의 모습을 가지고 있고 또 그 속에 있는 부분을 확대해 보았을 때도 전체의 모습을 반복적으로 갖는 기하학적 구조를 말한다.

그럼 이런 수학적 원리들이 자연계에서는 실제로 어떻게 발견되는지 알아보도록 하자.

그림 23. 황금비 (좌), 황금각 (중), 황금 직사각형 (우).

그림 24. 대수나선(좌) 과 프랙탈(우)

식물에 있어서 줄기에 잎이 나는 잎차례를 연구하는 학문을 엽서학(Phyllotaxis)라고 한다. 엽서학에 의하면 잎은 나사의 톱니같이 나선상으로 돌아서 나는데 잎이 얼마 많큼 돌아서 처음에 난 잎과 같은 방향에서 나는지를 나타내는 것을 개도라 한다. 예를 들어 아래 그림의 위쪽에 있는 것처럼 잎이 1-2-3-4-5 순서로 나면서 두 바퀴 돌아 6번째에서 1번과 같은 방향에서 다시 잎이 나올 경우 두바퀴인 720도를 5번 만에 도니까 개도는 720/5=144도 이고 같은 그림의 아래쪽에 있는 것처럼 잎이 1-2-3-4-5-6-7-8 순서로 잎이 나면서 세 바퀴 돌아 9번째에 1번 잎의 방향에서 다시 잎이 시작되면 잎은 3바퀴인 1080도를 8번 만에 도니까 개도는 1080/8=135도 이다. 위의 두 예처럼 잎이 2바퀴를 5번만에 돌면 2/5 잎차례라 부르고 3바퀴를 8번 만에 돌면 3/8 잎차례라 부른다.

그런데 식물들의 잎은 아무런 순서대로 나는게 아니라 잎차례가 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13,... 순서로 나는데 이것을 자세히 보면 분모와 분자가 모두 피보나치 수로 되어 있다는 것을 알 수 있다. 또한 분모는 분자 피보나치 수의 다음 다음 순서에 나오는 피보나치 수가 되며 잎차례의 수가 많아지면 개도는 황금각도인 137.51도에 접근한다. 개도가 황금각에 접근하면 잎차례의 중복이 최소가 된다. 이렇게 잎차레의 중복이 최소가 되면 어떤 잎이던지 햇빛을 골고루 받을 수 있고 비나 이슬이 잎으로 잘 모아져서 줄기를 타고 뿌리로 내려와 그 식물의 생존에 필수적인 물을 잘 공급할수 있는 특징을 지니게 된다. 이 얼마나 신비로운가?

그림 25. 2/5 입차례 (위)와 3/8 입차례 (아래)

식물은 잎사귀뿐만 아니라 싹이나 열매 그리고 씨앗도 피보나치 수열의 지배를 받는다. 그 몇가지 예를 살펴보자. 아래 그림은 노르웨이 전나무가 어떤 법칙에 따라 싹을 내는지 보여주는 그림이다. 가장 최근에 난 싹과 바로 그 전에 난 싹 사이의 각도를 중심에서 재어보면 황금각인 137.5도가 된다. 또한 해바라기 씨앗도 인접한 두 씨앗의 각도가 언제나 황금각인 137.5도를 이루고 있다. 이렇듯 씨앗이나 싹이 황금각을 이루면 겹침이 없고 주어진 면적에서 가장 많은 수의 싹을 가질 수 있다. 또 한 가지 재미있는 사실은 황금각을 이루어 태어난 씨앗이나 열매의 모습을 자세히 살펴보면 시계 방향과 반시계 방향으로 나선형을 이루면서 감겨 있음을 볼 수 있는데 이렇게 감겨있는 나선의 수를 세어보면 언제나 피보나치수열에서 나오는 인접한 두 숫자만을 가지게 된다.

몇가지 대표적인 예를 들면 아래 그림에 있는 데이지 꽃은 시계 방향으로 21번, 반시계 방향으로 34번, 솔방울은 반시계 방향으로 8번, 시계 방향으로 13번, 파인애플은 시계 방향으로 8번, 반시계 방향으로 5, 13번, 카울리플라워는 시계 방향으로 5번, 반시계 방향으로 8번, 로마네스크 브로콜리는 시계 방향으로 13번, 반시계 방향으로 21번 감겨있다. 이렇게 피보나치수열의 조합으로 감겨 있으면 열매나 씨앗의 전체 형태가 어릴 때의 모습과 다 자라서의 모습이 같은 모양을 유지하게 된다. 데이지 꽃을 예로 들면 어릴 때 둥근 데이지 꽃이 다 자랐을 때도 세모나 네모 모양으로 모양이 변형되지 않고 여전히 아름다운 둥근 모양을 지니게 된다. 그 이유는 피보나치 수의 조합으로 생긴 나선들이 대수 나선 형태를 이루고 있기 때문이다.

그림 26. 노르웨이 전나무. 황금각으로 싹이 돋으면서 방사상으로 퍼져나가는 모습.


그림 27. 데이지 꽃, 솔방울, 파인애플, 카울리 플라워, 그리고 로마네스크의 배열. 모두 인근한 두 피보나치 수열의 조합으로 감겨 있음을 볼수있다.

대수 나선을 따르는 성장 곡선은 식물뿐만 아니라 사람을 비롯한 여러 동물에게서도 찾아볼 수 있는데 사람의 귓바퀴, 귀속에 있는 달팽이관, 사람의 손가락, 해마의 꼬리, 산양의 뿔, 그리고 앵무조개를 비롯한 여러 종류의 조개와 달팽이 껍질 등이 그것이다. 이렇게 동식물들의 여러 기관이나 형상들이 대수 나선 형태로 성장해야 하는 중요한 이유가 있는데 그것은 그렇게 성장할때만이 어릴 때의 모습과 똑 같은 모습을 유지한 채 자라며 그 기관의 지니고 있는 고유한 기능이 커서도 잘 유지될 수 있기 때문이다. 예를 들어 사람의 귓바퀴는 소리를 잘 모으고 귀속의 달팽이관은 저음을 충분히 들을 수 있는 세기로 증폭해 주는 최적의 기하학적 모양을 지니고 있다. 그런데 만일 이런 중요한 기관들이 자라남에 따라 그 모양이 달라진다면 어떻게 될까? 그럴 경우 어릴때는 귀가 잘 들리지만 어른이 되면 귀가 들리지 않게 되는 난감한 상황에 부딫히게 된다. 또한 대수 나선을 따라 자라는 손가락 마디들이 어릴 때는 주먹을 자유롭게 쥘 수 있을 만큼 적당한 비율이었지만 자라면서 대수나선 형태를 벋어난다면 주먹조차 쥐기 힘든 모양의 손을 가지게 될것이다 (아래 그림 참조).

그림 28. 대수나선을 따라 성장하는 귀바퀴 (좌), 앵무조개 (중), 손의 뼈마디 (우)

위에서 언급한 싹이나 씨앗 외에 나뭇가지나 풀잎이 자라는 순서도 피보나치 수열을 따르는데 그중 대표적인 예가 산톱풀이다. 아래 그림에 있는 산톱풀은 처음 가지가 하나 나온 후에 2개로 되었다가 그 다음은 3개, 5개, 8개, 13개의 순서로 가지가 생기며 (왼쪽 그림), 각 가지에 달린 잎의 개수도 피보나치수열을 따라 1개, 1개, 2개, 3개, 5개, 8개의 순서로 달린다 (오른쪽 그림).

그림 29. 산톱풀(좌)의 가지(중앙)와 잎(우)이 나는 순서는 피보노치 수열을 따른다.

자연계에서 발견되는 또 다른 수학적 원리를 프랙탈 구조인데 고사리 잎이나 나무 그리고 카울리 플라워등에서 발견된다. 우리가 고사리 잎을 자세히 살펴보면 잎의 전체적인 모양이 그보다 적은 하나하나의 잎에 복사되어 나타나 있고 또 그 보다 점점 더 적은 잎들에서도 전체 모양이 반복되는 구조를 볼 수가 있다.

프랙탈 구조는 식물에서 뿐만 아니라 우리 몸의 순환계, 신경계, 소화기관 등에서도 발견 된다. 순환계는 신선한 산소와 영양분을 몸의 모든 세포에 신속하게 공급하는 역할을 해야 한다. 그러기 위해서는 몸 속의 수많은 세포에까지 혈관이 분포되어야 하는데 만일 이것을 보통의 방식으로 설계한다면 우리 몸을 혈관으로만 완전히 채워야만 할 것이다. 그런데 우리의 혈관이 프랙탈 구조를 갖게 만든다면 최소한의 체적을 차지하면서도 최대한의 면적을 가지게 된다. 또한 혈관이 프랙탈 구조를 가질 경우 심장의 강력한 박동을 크고 작은 수많은 혈관으로 분산시키면서 효율적으로 완충시키는 역할을 해줄 수 있다.

인간의 심폐기관도 프랙탈 구조를 가지고 있는데 폐의 큰 가지는 작은 가지로 갈라지며 작은 가지는 그보다 점점 더 작은 가지로 갈라져 마지막으로 폐포에 이르게 된다. 이렇게 프랙탈 구조로 형성된 폐의 표면적은 테니스 코트장 만한 크기가 되어 폐로 들어온 공기에서 최대한의 산소를 흡수하게 만든다. 소화관 내부도 영양분을 효율적으로 흡수하기 위해 미세한 주름을 가진 프랙탈 구조로 되어 있는데 그 표면적은 테니스 코트의 4배 정도가 된다.

그림 30. 프랙탈 구조를 가진 고사리 잎(좌)과 로마네스크 브로클리(우)

이제까지 살펴본대로 자연계의 많은 동식물들에 수학적 원리가 세겨저 있음을 알수가 있다. 어떻게 해서 그런 수학적 원리가 자연계에 세겨저 있었을까? 해바라기나 고사리가 수학을 잘하여 황금각을 따라 씨앗을 맺고 프랙탈 구조를 따라 잎을 내었다고 생각 할 수 있을까? 결코 그렇지 않을 것이다.

우리가 들판에서 석기시대의 화살촉을 발견 했다고 하자. 이 화살촉은 들판에서 흔히 발견되는 돌의 형상과는 다르기 때문에 우연히 만들어 질수 없고 분명히 누군가에 의해 어떤 돌이 다듬어 져서 화살촉 형상으로 만들어 졌다는걸 알수 있을것이다. 이와 마찬가지로 이 화살촉과는 비교 할수없을 정도의 고도의 수학적 원리와 생화학적 원리에 의해 만들어진 복잡한 생명체들이 이 지구상에 존재하고 있다는 사실은 우연히 이 생명체들이 만들어질수가 없고 분명히 이 생명체들을 만드신이가 존재한다는 사실을 증명한다.

이 생명체를 지구상에 만드신이가 바로 창조주 하나님이시다.

“창세로부터 그의 보이지 아니하는 것들 곧 그의 영원하신 능력과 신성이 그 만드신 만물에 분명히 보여 알게 되나니 그러므로 저희가 핑계치 못할지니라 (로마서 1:20)".

그림 31. 자연에서 발견되는 돌과 모습이 다른 화살촉. 만든 사람이 있음을 나타낸다.

"For God so loved the world that he gave his one and only Son, that whoever believes in him shall not perish but have eternal life.” (John 3:16)